中国最早的代数成就是金元时代的“天元术”

李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作，他在公元1248年完成了他的代数名著《测圆海镜》。他的天元术与现代列方程的方法极为类似。 李冶总结出的列方程程序是，首先“立天元一为某某”：这相当于现在的“设x为某某”的意思；然后依据题设条件列出两个相等的天元式（含未知数的多项式），寻找两个等值的而且至少有一个含天元的多项式；最后把两个等值多项式联为方程，通过“相消”化成标准形式 anXn+an-1Xn-1+a0X0=0 李冶创造出了一种比较清晰和简便的、适于各类问题的列方程的方法。最后利用增乘开方法求这个方程的根。 李治在书中把记多项式的文字省略为一个字，在一次项旁边记个“元”字，或在常数项旁边记个“太”字，使天元术成为比较简单的固定形式。这在世界数学史上也是处于领先地位的。

我们知道欧洲直到16世纪下半叶才由韦达引入了半符号的代数，它比我国的天元术至少晚了300年。 西方把韦达称为“代数符号之父”，而韦达提出用代数符号的时间却是在李治使用天元术300多年之后。

实际上，《测圆海镜》中方程各项的符号均无限制，这是代数学的一个进步。

李冶由于摆脱了几何思维束缚，在方程理论上取得了四项进展：

第一，他改变了传统的把常数项看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘泥于它的几何意义。

第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。在这里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代 表面积，三次方程也并非代表体积。

第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程。

第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子xn（n 为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数。

《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在书的编排上也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定理、公 式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术的方法推导出来。李冶以前的算术，一般采取问题集的形式，各章（卷）内容大体上平列。李冶以演绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。

秦九韶是在公元1247年9 月完成他的数学名著《数书九章》，而李冶的《测圆海镜》比《数书九章》 成书的时间相差不过一年。

李冶还发明了负号，他的负号与现在不同，是数字上画一条斜线。而在国外，德国人是在15 世纪才引入负号的。李冶还发明了一套相当简明的小数记法，在李冶之前，小数记法离不开数名，如 7.59875 尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝。李冶则取消数名，完全用数码表示小数，纯小数在个位处写0，带小数于个位数下写步，如 0.25 记作○＝|||||，这种记法在当时算是最先进的。直到17 世纪，英国数学家J·纳普尔（1550—1617）发明小数点后，小数才有了更好的记法。

李冶由于掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符号表示，从而改变以往用文字描述方程的状况。但这时仍缺少运算符号，特别是缺少等号。因此这样的代数，只能称为“半符号代数”，它是近代符号代数的前身。大约300 年后，类似的半符号代数也在欧洲产生了。

李冶撰写《益古演段》为推广普及“天元术”

北宋数学家蒋周写过一本《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方法则是几何方法。李冶读过蒋周的《益古集》，并用天元术对这本书进行了研究。公元1259 年，李冶的另一本数学著作《益古演段》写成了。《益古演段》全书共3卷，64题，主要处理的是平面图形的面积问题，所求多为圆径、方边、周长之类。除四道题是一次方程外，全是二次方程问题，内容安排基本上是从易到难。从这个角度来分析，《益古演段》这本书，可能是李冶在教学过程中为学生所写的教材。

《益古演段》在数学理论上也有创新。该书的问题同《测圆海镜》有所不同，所求的量不是一个而是两个、三个甚至四个。按照古代的方程理论“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”应该用方程组来解，所含方程的个数与所求的个数是一致的。但是解二次方程组显然要比解一元方程困难得多。

李冶是在完成了《测圆海镜》之后再来写《益古演段》，他对天元术的运用自然会更加熟练，但是他在这本书中却没有像他在《测圆海镜》中那样，完全用天元术来解题。书中新旧二术并用，新术是李冶的代数方法——天元术；旧术仍然是蒋周的几何方法——条段法。条段法是一种图解的方法，因为方程各项常用一段一段的条形面积表示，所以得名为条段法。这本书深入浅出，揭示了天元术和条段法的联系和区别，使人们了解条段法向天元术的过渡过程，他还在书中经常使用人们比较易懂的几何方法对天元术进行验证，这对人们接受天元术是有很大帮助的。书中附有一些插图，不仅有利于教学，也便于自学。砚坚为李冶的《益古演段》作《序》，称赞这本书说：“说之详，非若溟涬黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足观”。这些特点，使《益古演段》成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播起了不小的作用。

李冶所处的年代是一个政治动荡不定的时期，他的研究是在极其困难的条件下进行的。特别是在弃官隐居之后，生活更加艰苦，常常是饥寒至不能自存，但他仍以讲学、著书为乐。很多人都讥笑李冶，说他“玩物丧志”，李冶泰然自若。他坚决拒绝了朝廷高官厚禄的诱惑，潜心研究“天元术”，能做到这一点是非常不容易的。

李冶善于接受前人知识，取其精华。有人问学于李冶，李冶回答说：“学有三：积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。这就是说，要去其糟粕，取其精华，并使它成为自己的东西。 李冶反对文章的深奥化和庸俗化，他认为文章是写给别人看，而不是为自己。李冶在《益古演段》序中说：“今之算者，未必有刘（徽）李（淳风）之工，而编心踞见，不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭，唯恐学者得窥其仿佛也。” 他的《益古演段》就是这种主张下的著作。