中国流传最久最古老的数学书《九章算术》创多项世界数学之最

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章、它们的主要内容分别是：

第一章“方田”：田亩面积计算；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。

第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；

第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。

第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；

第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；

第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。

第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。

第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；

在代数方面：主要有一次方程组解法、负数概念的引入及其加减法法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。

“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则；

在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。

九章算术方程》章共18问，全都是一次方程组问题，未知数最多时可达五个。其解法，首先以竖行用算筹列出各方程的系数，如“方程”章第一题，其消元方法就是令左右行连续相减。

“程”是指“计算”、“方”是指这样列出的筹式是方形的，这才是“方程”这一数学术语的原意。

《九章算术》中的这项成果，比世界其它国家和地区的同类成果要早很多年。“方程”章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则。

在《九章算术》中，开平方和开立方时所列筹式以及演算过程，其意义和求解x=、x=的数值解法是相同的。

这样，在开平方的过程中便可很自然地引出一般二次方程的解法。由此出发，更开宋元时期高次方程数值解法的先声。

在几何方面：主要是面积(方田)、体积(商功)计算问题。

“方田”章中系统叙述了约分、通分、比较不同分母分数的大小以及分数的四则运算。通分时使用的是辗转相减法。在“粟米”、“衰分”、“均输”各章中，有着许多比例问题，在世界上也是比较早的。

“盈不足”算法也是一项创造。如“人出八盈三，人出七则不足四，问人数物价各几何”这类“盈不足”问题的解法，需要给出两次假设，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。

该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。